Zadanie z Jedno Zadanie Dziennie
Zacznijmy od
$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix} a^{n-k} b^k.$$
W naszym przypadku to pod całką, to $a = 1$ oraz $b = -x^2/n$. To lecimy
$$=\lim_{n\to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}\left(\frac{x^2}{n}\right)^k \cdot (-1)^k dx.$$
Dużo można wyciągnąć przed całkę
$$=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix}\int_0^{\sqrt{n}} \frac{x^{2k}}{n^k} dx.$$
Wyrażenie pod całką łatwo obliczamy
$$=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix}n\cr k\end{pmatrix} \frac{\sqrt{n}}{2k+1}.$$
Okazuje się, że część tego napisu możemy ładnie przehandlować na stosunek podwójnych silni. Otóż, zachodzi taka równość: $\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n \cr k \end{pmatrix} \frac{(-1)^k}{2k+1} = (2n)!! / (2n+1)!!$.
$$=\lim_{n\to \infty} \sqrt{n}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$$
Dalej, możemy połączyć to z wynikiem z Całek Wallisa, który ma postać $(2p)!! / (2p - 1)!! \sim \sqrt{\pi p}$ dla dużych $p$. Zamienimy sobie zmienne $2p := 2n+1;\quad 2p-1 := 2n;\quad p := n+1/2$ i możemy zapisać wtedy
$$= \lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \frac{1}{\sqrt{\pi p}} = \lim_{n\to \infty} \sqrt{n} \frac{1}{\sqrt{\pi (n+1/2)}}.$$
Teraz już będzie łatwo:
$$= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \lim_{n\to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$$
comments powered by Disqus